1. Миша пришел с приятелем в тир. Уговор был такой: Миша делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать еще два выстрела. Всего Миша сделал 17 выстрелов. Сколько раз он попал в цель?



2. Счетчик автомобиля «Жигули» показывал 15951 км. Ровно через два часа счетчик показывал новое число, которое тоже в обе стороны читалось одинаково. С какой скоростью мог ехать в эти два часа автомобиль?

3. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в ней составило 2%?



4. Грани куба можно раскрасить либо все в белый цвет, либо все в черный цвет, либо часть в белый, а часть в черный цвет. Сколько существует различных способов окраски граней куба? (два способа считаются различными, если их нельзя перепутать, как бы не переворачивать куб).



5. АВСД – трапеция (сторона АД – параллельна стороне ВС). Точка О – точка пересечения диагоналей. Доказать, что площадь треугольника АОВ равна площади треугольника СОД.



6. Найти площадь треугольника АВС, данного координатами своих вершин А (3;2), В (4√3+3; 6), С (4; 2-√3).

7. Найти наименьший корень уравнения:



8. Найти sin3х + cos3х, если sinх + cosх = √2.



9. В карьере заготовлено 200 гранитных плит, 120 из которых весят по 3 тонны каждая, а остальные – по 9 тонн. Какое наименьшее число железнодорожных платформ надо для вывоза плит, если на одну платформу можно грузить до 40 тонн.



10. Имеется лист бумаги, карандаш, масштабная линейка и спичечный коробок. Как найти, используя только эти инструменты и ничего не вычисляя, длину диагонали, соединяющей противоположные вершины коробка?

Максимум баллов ставится в том случае, если задание решено верно со всеми доказательствами, если они необходимы.

№ задания


Максимум баллов


№ задания


Максимум баллов

1


4 балла


6


5 баллов

2


4 балла


7


4 балла

3


5 баллов


8


5 баллов

4


3 балла


9


5 баллов

5


5 баллов


10


4 балла

ЗАДАНИЯ ОЧНОГО ТУРА УЧИЛИЩНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

2002-2003 УЧЕБНЫЙ ГОД.

1. При каких значениях параметра а уравнение имеет хотя бы один корень:

х2 + х = а

2. Построить график функции:

f (х) = | х |

х

3. Какое из чисел больше: 9547 * 9549 или 95482?

4. Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

5. Дан произвольный треугольник Т1. Его средние линии образуют треугольник Т2, средние линии Т2 образуют треугольник Т3 и т.д. Чему равно отношение площадей треугольников Т1 и Т5?

6. Чему равно выражение: х17 – 12х16 + 12х15 – 12х14 - … - 12х2 + 12х – 1 при х = 11.

7. Решить уравнение 5 sin2х – 4 √3sinx cosx + 5 cos2х = 2

8. Доказать тождество

1 – cos2(π - α)

------------------- tg(2π + α) * ctg(π + α) cos2α = 1.

1 – sin2(π + α)